perhitungan elemen batang dalam 2 dimensi untuk menentukan koordiat lokalnya berdasarkan nodalnya

perhitungan elemen batang dalam 2 dimensi untuk menentukan koordiat lokalnya berdasarkan nodalnya

Asumsi yang digunakan untuk melakukan penurunan persaman matriks kekakuan elemen bar yaitu:

1. Bar/truss hanya menerima gaya pada arah axial (searah bar) dan tidak menerima gaya pada arah lateral (tegak lurus bar). Oleh karena itu nilai vi’ sama dengan 0.
2. Semua perpindahan yang kearah selain arah panjang bar, diabaikan.
3. Bar mengikuti hukum linier σx=E.εx (pada arah axial)
4. Pada koordinat lokal hanya terdapat 1 DOF karena bergerak hanya 1 arah
5. Pada koordinat global terdapat 2 DOF

Transformasi displacement lokal ke global

dimana l=cosΘ, dan m= sinΘ
maka matriksnya menjadi



Untuk 2 node pada bar element, matriksnya menjadi


dengan nilai

maka force di node menjadi



Example Plane stress

A simple plane truss is made of two identical bars (with E,A, and L), and loaded as shown in the figure. Find : 1. Displacement of Node 2.    2. Stress in each bar

dari gambar disamping diketahui bahwa terdapat 2 elemen dan 3 node. maka koordinat lokalnya adalah
karena tiap elemen berbeda koordinatnya maka untuk matriks globalnya dipisahkan terlebih dahulu tiap elemen untuk selanjutnya digabung

elemen 1


elemen 2


matriks elemen 1 dan 2 digabungkan sehingga matriksnya


Karena u1=v1=u3=v3=0  dan F2x=P1,F2y=P2 maka matriknya mejadi

dan displacement di node 2 yaitu

dan stress pada batang 1 dan batang 2 yaitu

26OCT

Elemen Batang

Element batang dapat digunakan sebagai permodelan rangka pada 1 dimensi dan node nya memiliki degree of freedom(DOF) bernilai 1. untuk melakukan perhitungan finite element pada element batang ini diasumsikan bahwa batang bersifat kontinyu walaupun ketika dilakukan penglihatan secara miksroskopis akan terdapat ruang-rung pada atomnya.

dengan nilai E= Modulus Elastisitas
u=displacement
F=internal force
ε=strain
σ=stress
hubungan stress dengan strain σ=E. ε
Jika batang diberi gaya F, maka untuk mengetahu regangan yang terjadi dilihat dari displacementnya. diasumsikan fungsi ini linear,perubahan jarak tiap titik diasumsikan linear maka;
U= ax + b
Jika dimasukan nilai ke fungsi x di node i dan node j maka
u(x)= (1-x/L)ui + (x/L) uj
dari persamaan ini maka ε= (ui-uj)/L = Δ/l (elongasi)
maka karena nilai σ=E. Δ/l        dan            σ=F/A
F=EAΔ/l = k. Δ
sam halnya dengan pegas kemarin maka matriks kekauanya adalah





maka persamaan element batangnya adalah




Example 1

Example 1

Find the stresses in the row bar assembly which is loaded with force P and constrained at the two ends as shown in the figure.
the solution use 1-D bar elements
first find local matrix in element 1 and element 2.
Element 1

Element 2

and global matrix become

load and boundary condition: u1=u3=0            F2=P


Stress in Element 1

stress in Element 2

which indicated element 2 is in compression

Home Work :

No 

25OCT

Elemen Pegas

Sebelum memasuki perhitungan Finite Element yang lebih tinggi, maka Elemen pegas dapat digunakan untuk membuat perhitungan finite element yang sederhana. Berikut ini merupakan cotoh penggunaan finite element pada elemen pegas, pada gambar akan terilihat jika pegas akan dibagi menjadi 3 node, dan 2 Elemen (elemen 1 dan elemen 2). Perhitungan selanjutnya akan dilakukan pada node-node tersebut

dengan u=Displacement

                F=Gaya di node 1,2,3

                K=Nilai Kekakuan Pegas

Pada pegas selanjutnya akan terjadi elongation, Elongation bergantung pada tingkat kekakuan dari pegas(material pegas). F=k.x

Hubungan antara Gaya dan x dapat digambarkan sebagai berikut

untuk mempermudah perhitungan selanjutnya maka hubungan yang terjadi adalah linear. meskipun pada kondisi aslinya ketika suatu gaya diberikan maka hubungan antara gaya dan besarnya peralihan bisa saja linear ataupun non-linear, hal ini bergantung dari tegangan geser yang diterima.

Maka perhitungan lokal untuk elemen  dan elemen 2 adalah sebagai berikut:

kemudian dapat disusun matriks kekakuan globalnya menjadi

K.U=F

Contoh Penyelesaian Soal Elemen Pegas dengan menggunakan metode Finite Element . Berikut ini terdapat elemen pegas dengan sisitem berikut:

Dengan nilai K1= 100 N/m     K2= 200 N/m  K3=100N/m    P=500 N          u1=u4=0
Temukanlah     a. Matriks kekakuan lokal
b.  Matriks Kekakuan Global
c. Peralihan di node 2 dan 3

Jawab

a. Maka mariks kekauan lokal tiap elemen adalah

b. Sedangkan matriks kekauan globalnya adalah

Maka persamaan keseimbanganya adalah

c. Untuk menentukan perlihan di node 2 dan 3 dapat menggunakan matriks persamaan keseimbangan. Dikarenakan nilai u1=u4=0 karena constraint maka dari matriks persamaan tersebut dapat dihilangakn baris dan kolom 1 dan 4,maka matriksnya menjadi

dan diselesaikan sehingga

25OCT

Komponen Strain

Metode Elemen hingga saat ini penggunaanya banyak sekali digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam bidang engineering. Metode Finite Element adalah menganalisa benda dengan membaginya menjadi bagian dengan jumlah yang hingga (finite). Bagian-bagian ini disebut elemen yang tiap elemen satu dengan elemen lainnya dihubungkan dengan nodal (node). Kemudian dibangun persamaan matematika yang menjadi reprensentasi benda tersebut. Proses pembagian benda menjadi beberapa bagian disebut meshing.  Salah satu masalah engineering yang dapat diselesaikan dengan metode ini yaitu analisa tegangan pada struktur. Untuk dapat menganalisa mengenai tegangan pada struktur maka harus dipahami benar peristiwa-peristiwa yang terjadi didalamanya. tegangan pada struktur erat kaitanya dengan displacement(peralihan) dan regangan (strain).

Regangan ialah perubahan relatif dimensi atau bentuk benda yang mengalami tegangan. tegangan sendiri dibagi menjadi dua jenis yaitu, tegangan normal dan tegangan tangensial. Tiap jenis tegangan ini ada jenis regangnnya masing-masing.


Gambar diatas melukiskan sebuah batang yang panjang aslinya   l₀  dan berubah menjadi panjang l apabila pada ujung-ujungnya dilakukan gaya tarik yang sama besar dan berlawanan arahnya. Sudah tentu perpanjangan itu tidak hanya timbul pada ujung-ujung batang saja, setiap unsur batang itu bertambah panjang, sebanding dengan pertambahan panjang batang itu sebagai keseluruhan. Regangan kibat tarikan (tensile strain) pada batang itu didefinisikan sebgai perbandingan pertambahan panjang terhadap panjang awalnya.

Regangan akibat kompresi (desakan) pada batang didefinisikan dengan cara yag sama, yaitu, sebagai perbandingan berkurangnya panjang terhadap panjang awalnya.

Tegangan maupun regangan tidak seperti gaya, bukanlah sebuah besaran vektor, karena tidak dapat memberinya arah yang tertentu. Gaya yang bekerja terhadap potongan benda di sisi tertentu suatu irisan mempunyai arah yang tertentu. Tegangan  ataupun regangan termasuk salaha satu besaran fisika yang disebut tensor. Tensor adalah suatu satuan geometri yang diperkenalkan ke dalam matematika dan fisika untuk memperluas pengertian skalar, (geometris) vektor, dan matriks. Tensor mempunyai range. Range pada tensor akan menunjukan jumlah komponennya, jumlah komponen dari tensor adalah lebih dari 1 (n>1).

catatan kuliah : Finite Element 15 September 2011