Curve fitting

"Terbaik cocok" beralih ke halaman ini. Untuk menempatkan ("pas") variabel-benda berukuran di gudang, melihat fragmentasi (komputer) .

Curve fitting adalah proses membangun sebuah kurva , atau fungsi matematika , yang paling cocok untuk serangkaian data yang poin, mungkin tunduk pada kendala. Pas kurva dapat melibatkan baik interpolasi , dimana sesuai tepat untuk data yang diperlukan, atau smoothing , di mana "halus" fungsi dibangun bahwa sekitar cocok dengan data. Sebuah topik yang terkait adalah analisis regresi, yang lebih memfokuskan pada pertanyaan inferensi statistik seperti berapa banyak ketidakpastian hadir dalam kurva yang sesuai dengan data yang diamati dengan kesalahan acak. Kurva pas dapat digunakan sebagai bantuan untuk visualisasi data, untuk menyimpulkan nilai-nilai dari suatu fungsi di mana tidak ada data yang tersedia, dan untuk meringkas hubungan antara dua atau lebih variabel.Ekstrapolasi mengacu pada penggunaan kurva dipasang di luar jangkauan dari yang diamati data, dan dapat berubah pada tingkat yang lebih besar dari ketidakpastian karena dapat mencerminkan metode yang digunakan untuk membangun kurva sebanyak itu mencerminkan data yang diamati.

Berbagai jenis fitting kurva

[ sunting ]

Pemasangan garis dan kurva polinom titik data

Kurva polinomial pas poin yang dihasilkan dengan fungsi sinus. 

Garis merah adalah polinomial tingkat pertama, baris hijau adalah derajat kedua,garis oranye adalah derajat ketiga dan biru adalah gelar keempat

Dimulai dengan gelar pertama polinomial persamaan:

Ini adalah garis dengan kemiringan a. Kita tahu bahwa sebuah garis akan menghubungkan dua titik. Jadi, persamaan polinomial tingkat pertama adalah sesuai tepat melalui dua titik dengan koordinat x yang berbeda.

Jika kita meningkatkan urutan persamaan untuk polinomial derajat kedua, kita mendapatkan:

Ini sebenarnya yang akan cocok dengan kurva sederhana untuk tiga poin.

Jika kita meningkatkan urutan persamaan untuk polinomial derajat ketiga, kita mendapatkan:

Ini akan cocok persis empat poin.

Sebuah pernyataan yang lebih umum akan mengatakan persis muat empat kendala. Kendala masing-masing dapat menjadi titik, sudut , atau kelengkungan (yang adalah kebalikan dari jari-jari sebuah lingkaran osculating ). Angle dan kelengkungan kendala yang paling sering ditambahkan ke ujung kurva, dan dalam kasus seperti itu disebut kondisi akhir. Kondisi akhir Identik sering digunakan untuk memastikan kelancaran transisi antara kurva polinomial terkandung dalam satu spline . Tingkat tinggi kendala, seperti "perubahan dalam tingkat kelengkungan", juga bisa ditambahkan. Ini, misalnya, akan berguna dalam jalan raya daun semanggi desain untuk memahami laju perubahan kekuatan diterapkan untuk mobil (lihat brengsek ), karena ia mengikuti daun semanggi, dan untuk mengatur batas kecepatan yang wajar, sesuai.

Mengingat hal ini, persamaan polinomial tingkat pertama juga bisa menjadi pasangan yang tepat untuk satu titik dan sudut sementara persamaan polinomial derajat ketiga juga bisa menjadi pasangan yang tepat untuk dua titik, sebuah kendala sudut, dan kendala kelengkungan. Kombinasi lainnya Banyak kendala yang mungkin untuk ini dan untuk persamaan polinomial orde tinggi.

Jika kita memiliki lebih dari n + 1 kendala (n menjadi derajat polinomial), kita masih dapat menjalankan kurva polinomial melalui kendala tersebut. Sesuai tepat untuk semua kendala tidak tertentu (tapi mungkin terjadi, misalnya, dalam kasus polinomial tingkat pertama persis pas tiga poin collinear ). Secara umum, bagaimanapun, beberapa metode ini kemudian diperlukan untuk mengevaluasi pendekatan masing-masing. Para kuadrat terkecil metode adalah salah satu cara untuk membandingkan penyimpangan.

Sekarang, Anda mungkin bertanya-tanya mengapa kita yang mau mendapatkan sesuai perkiraan ketika kita bisa meningkatkan derajat dari persamaan polinomial dan mendapatkan yang sama persis.Ada beberapa alasan:

• Bahkan jika yang sama persis ada, itu tidak harus mengikuti bahwa kita dapat menemukannya. Tergantung pada algoritma yang digunakan, kita mungkin mengalami kasus berbeda, di mana sesuai tepat tidak dapat dihitung, atau mungkin butuh waktu komputer terlalu banyak untuk menemukan solusi. Either way, kita mungkin akhirnya harus menerima solusi perkiraan.

• Kami benar-benar dapat memilih efek dari rata-rata dari poin dipertanyakan data dalam sampel, daripada kurva mendistorsi untuk menempatkan mereka dengan tepat.

• Runge itu fenomena : polinomial orde yang tinggi dapat sangat osilasi. Jika kita menjalankan kurva melalui dua titik A dan B, kita akan mengharapkan kurva untuk menjalankan agak dekat titik tengah A dan B, juga. Ini mungkin tidak terjadi dengan high-order kurva polinomial, mereka bahkan dapat memiliki nilai yang sangat besar di positif atau negatif besarnya . Dengan polinomial orde rendah, kurva ini lebih cenderung jatuh dekat titik tengah (itu bahkan dijamin persis dijalankan melalui titik tengah pada polinomial tingkat pertama).

• Polinomial orde rendah cenderung halus dan kurva polinomial orde yang tinggi cenderung "kental". Untuk menentukan ini lebih tepatnya, jumlah maksimum ogee / titik infleksi mungkin dalam kurva polinomial adalah n-2, dimana n adalah urutan dari persamaan polinomial. Titik perubahan adalah lokasi pada kurva di mana ia beralih dari radius positif ke negatif. Kita juga bisa mengatakan ini adalah di mana transisi dari "ikat air" untuk "air menumpahkan". Perhatikan bahwa hanya "mungkin" bahwa polinomial orde yang tinggi akan menjadi kental, mereka juga bisa menjadi halus, tetapi tidak ada jaminan ini, tidak seperti dengan kurva polinomial urutan rendah. Sebuah polinomial derajat kelima belas bisa, paling banyak, titik infleksi tiga belas, tapi juga bisa memiliki dua belas, sebelas, atau sejumlah turun ke nol.

Sekarang kita telah berbicara tentang menggunakan gelar terlalu rendah untuk sesuai tepat, mari kita juga membahas apa yang terjadi jika derajat kurva polinomial lebih tinggi dari yang diperlukan untuk sesuai tepat. Ini buruk untuk semua alasan yang tercantum sebelumnya untuk polinomial orde yang tinggi, tetapi juga mengarah pada kasus di mana ada jumlah tak terbatas solusi. Sebagai contoh, polinomial tingkat pertama (baris) dibatasi oleh hanya satu titik, bukan dua biasanya, akan memberi kita jumlah tak terbatas solusi. Ini membawa pada masalah bagaimana untuk membandingkan dan memilih hanya satu solusi, yang dapat menjadi masalah untuk perangkat lunak dan untuk manusia, juga. Untuk alasan ini, biasanya terbaik untuk memilih serendah gelar mungkin untuk sama persis pada semua kendala, dan mungkin tingkat yang lebih rendah, jika sesuai perkiraan dapat diterima.

Untuk keterangan lebih lanjut, interpolasi polinomial .

lainnya kurva Fitting untuk titik data

Jenis lain dari kurva, seperti bagian berbentuk kerucut (lingkaran, elips, parabola, dan busur hiperbolik) atau fungsi trigonometri (seperti sinus dan kosinus), mungkin juga digunakan, dalam kasus tertentu. Misalnya, lintasan benda-benda di bawah pengaruh gravitasi mengikuti jalan parabola, ketika hambatan udara diabaikan. Oleh karena itu, pencocokan data lintasan menunjuk ke sebuah kurva parabolik akan masuk akal. Tides mengikuti pola sinusoidal, maka pasang surut titik data harus disesuaikan dengan gelombang sinus, atau jumlah dari dua gelombang sinus dari periode yang berbeda, jika efek dari Bulan dan Matahari keduanya dipertimbangkan.

[ mengedit ]

Aljabar cocok dibandingkan geometris cocok untuk kurva

Untuk analisis aljabar data, "cocok" biasanya berarti berusaha mencari kurva yang meminimalkan perpindahan (y-axis) vertikal titik dari kurva (misalnya, kuadrat terkecil biasa ). Namun untuk aplikasi grafis dan gambar pas geometris berusaha untuk memberikan visual terbaik sesuai; yang biasanya berarti mencoba memperkecil jarak ortogonal terhadap kurva (misalnya, jumlah kuadrat terkecil ), atau sebaliknya termasuk kedua sumbu pemindahan titik dari kurva . Cocok geometris tidak populer karena mereka biasanya membutuhkan non-linear dan / atau berulang perhitungan, meskipun mereka memiliki keuntungan dari hasil yang lebih estetis dan geometris akurat.

[ sunting ]

Fitting lingkaran dengan fit geometris

berbeda model pas

Coope ^[1] mendekati masalah mencoba untuk menemukan cocok visual terbaik dari lingkaran untuk satu set titik data 2D. Metode elegan mengubah biasanya non-linear masalah menjadi masalah linier yang dapat diselesaikan tanpa menggunakan metode iteratif numerik, dan karenanya urutan besarnya lebih cepat dari teknik sebelumnya.

[ sunting ]

Fitting elips dengan fit geometris

Teknik di atas diperpanjang menjadi elips umum ^[2] dengan menambahkan langkah non-linear, sehingga metode yang cepat, namun Temuan yang secara visual menyenangkan elips orientasi sewenang-wenang dan pemindahan.

[ sunting ]

Aplikasi untuk permukaan

Perhatikan bahwa sementara diskusi ini adalah dalam bentuk kurva 2D, banyak logika ini juga meluas ke permukaan 3D, masing-masing sepetak yang didefinisikan oleh jaring kurva parametrik dalam dua arah, biasanya disebut u dan v. Sebuah permukaan dapat terdiri dari satu atau lebih permukaan patch di setiap arah.

Untuk lebih jelasnya, lihat representasi komputer dari permukaan artikel.

[ sunting ]

Perangkat Lunak

Banyak paket statistik seperti R dan perangkat lunak numerik seperti Perpustakaan Ilmiah GNU , SciPy dan OpenOpt termasuk perintah untuk melakukan pencocokan kurva dalam berbagai skenario.Ada juga program khusus ditulis untuk melakukan curve fitting, mereka dapat ditemukan dalam daftar statistik dan program analisis numerik serta dalam Kategori: Regresi dan software curve fitting .

[ sunting ]

Lihat juga

• Levenberg-Marquardt algoritma
• Nonlinear regresi
• Smoothing
• Jumlah kuadrat terkecil
• Overfitting

Referensi

1. ^ coope, ID, Circle pas dengan kuadrat terkecil linier dan nonlinier, Jurnal Teori Optimasi Aplikasi dan Volume 76, Edisi 2, Jakarta: Tekan Plenum, Februari 1993 [1]
2. ^ Paul Sheer, Sebuah asisten perangkat lunak untuk photometrology stereo manual, M.Sc. tesis, 1997